Description:
Пусть серый шарнир скользит по кривой, симметричной относительно прямой, проходящей через закрепленный красный шарнир. Можно показать, что в таком случае траектория синего шарнира будет также симметрична относительно некоторой прямой, проходящей через неподвижный шарнир. Российский математик Пафнутий Львович Чебышев исследовал вопрос, какова же может быть эта траектория.
Важным частным случаем серой траектории является окружность. На практике он реализуется добавлением одного неподвижного (красного) шарнира и ведущего звена некоторой длины.
Для синей же траектории двумя важными случаями является схожесть ее либо с отрезком прямой, либо с окружностью или ее дугой. Чебышев пишет: "Здесь мы займемся рассмотрением случаев, наиболее простых и наичаще представляющихся на практике, а именно когда имеется в виду получить движение по кривой, которой некоторая часть, более или менее значительная, мало разнится от дуги круга или от прямой линии."
Именно к выявлению наилучших параметров этого механизма, решающего перечисленные задачи, Пафнутий Львович впервые сам применяет теорию приближения функций, разработанную им незадолго до этого при изучении параллелограмма Уатта.
Подбирая расстояние между закрепленными шарнирами, длину ведущего звена, а также угол между звеньями Пафнутий Львович получает замкнутую траекторию, мало уклоняющуюся от прямолинейного отрезка. Уклонение синей траектории от прямолинейной можно уменьшать, измененяя параметры механизма. Однако при этом будет уменьшаться и длина хода синего шарнира. Но это происходит медленнее, чем уменьшение отклонения от прямой, поэтому для практических задач можно подобрать удовлетворительные параметры. Это один из вариантов приближенного прямила, предложенного Чебышевым.
Перейдем к случаю схожести синей кривой с окружностью.
Рассматривая случай, когда звенья составляют прямую, приходим к механизму, похожему на греческую букву «лямбда». С некоторыми параметрами Чебышев использовал его для построения первой в мире «Стопоходящей машины». При этом синяя кривая была похожа на шляпку белого гриба. Подбирая параметры лямбда-механизма по-другому можно получить траекторию, поочередно касающуюся двух концентрических окружностей, оставаясь все время между ними. Изменяя параметры механизма можно уменьшать расстояние между концентрическими окружностями, внутри которых расположена синяя траектория.
Достроим лябмда-механизм, добавив неподвижный шарнир и два звена, сумма длин которых равна радиусу большей окружности, а разность — радиусу меньшей.
Получившееся устройство имеет точки бифуркации или, как еще говорят, сингулярные или особые точки. Находясь в такой точке, при одном и том же движении лямбда-механизма по часовой стрелке добавленные звенья могут начать вращаться либо по часовой стрелке, либо против. Таких точек бифуркации в нашем механизме шесть — когда добавленные звенья находятся на одной прямой.
Существует большое и важное направление в математике — теория особенностей — исследование предмета через изучение его особых точек. Очень простым частным случаем является изучение поведения функции через исследование точек её максимума и минимума.
Чтобы наш механизм проходил все шесть особых точек в одном наперед выбранном направлении, маленькое звено связывают с маховиком, которое будучи раскрученным в какую-то сторону, выводит механизм из особой точки вращающимся в ту же сторону.
Если из точки бифуркации раскрутить маховик, так же как и ведущее звено, по часовой стрелке, то за один оборот ведущего звена маховик сделает два оборота.
Если же из особой точки придать маховику движение против часовой стрелки, то за один оборот ведущего звена по часовой стрелке, маховик сделает целых четыре оборота!
В этом и заключается парадоксальность этого механизма, придуманного и сделанного Пафнутием Львовичем Чебышевым. Казалось бы, плоский шарнирный механизм должен работать однозначно, однако, как видим, это не всегда так. И причиной являются особые точки.
Description: Пусть серый шарнир скользит по ...
|
